多项式插值是什么？用一条多项式曲线穿过已知的点

多项式插值（Polynomial Interpolation）是一种用多项式函数来近似估算未知数值的方法。插值法又称“内插法”：已知一个函数在某个区间内若干个点上的取值，构造一个适当的特定函数，使它经过这些已知的点，然后用这个特定函数在区间内其他点上的值，作为原函数在这些点上的近似值。如果这个特定的函数是多项式，就叫多项式插值。

一个直观的例子

假设你在一天中的几个时刻测量了温度：早上 6 点是 15 度，中午 12 点是 25 度，下午 6 点是 20 度。现在想估计上午 9 点的温度是多少。多项式插值的做法是：找一个多项式函数，让它的曲线恰好穿过这三个已知的点，然后计算这条曲线在 9 点时的值。经过两个点可以画一条直线（一次多项式），经过三个点可以确定一条抛物线（二次多项式）。一般地，n 加 1 个不同的点，可以唯一确定一个次数不超过 n 的多项式。

常用的方法

拉格朗日插值：为每个已知点构造一个“基函数”，这个基函数在自己对应的点上取值为 1，在其他已知点上取值为 0，再把这些基函数按照各点的函数值加权组合起来，就得到了插值多项式。它的公式形式简洁优美。牛顿插值：用一种叫“差商”的方法逐步构造插值多项式。它的好处是，当新增一个已知点时，不需要从头重新计算，只需要在原来的多项式基础上再添加一项，计算更加方便。这两种方法得到的是同一个多项式，只是表达和计算的方式不同。

龙格现象：点越多不一定越好

直觉上，已知的点越多，插值多项式应该越准确。但德国数学家卡尔·龙格在 1901 年发现了一个反直觉的现象：当用等间距分布的大量点进行高次多项式插值时，插值曲线在区间的中间部分拟合得很好，但在区间的两端会出现剧烈的振荡，偏离真实的函数越来越远，点越多，振荡反而越严重。这被称为龙格现象。为了避免它，常用的办法是：不使用一个很高次的多项式，而是把区间分成许多小段，在每一段上分别用低次的多项式插值，并让各段在连接处平滑地衔接，这就是样条插值，三次样条插值是最常用的一种；或者选择特殊分布的插值点，比如切比雪夫节点，在区间两端分布得更密一些。

应用

多项式插值是数值分析中最基础的方法之一，被广泛用于：根据有限的测量数据估算中间的值；计算机图形学中绘制平滑的曲线和曲面；数值积分和数值微分；数据补全；以及图像缩放时估算新像素的值等。