随机游走是什么？每一步都随机迈出的路径

随机游走（Random Walk），也叫随机漫步，是一种由一系列随机步骤构成的数学模型：从某个起点出发，每一步都随机地决定往哪个方向走、走多远，这些步骤连起来就形成了一条随机的路径。“随机游走”这个术语由英国统计学家卡尔·皮尔逊在 1905 年提出。

一个形象的例子

最常用来说明随机游走的例子是“醉汉走路”：一个喝醉的人站在一条直线的路上，每一步都随机地向前或向后迈一步，向前和向后的概率各是一半。走了很多步之后，他会在哪里？他可能回到了原点附近，也可能走出了很远。数学上可以证明：平均来说，他离原点的距离会随着步数的平方根增长，走了 100 步，离原点的典型距离大约是 10 步。还有一个有趣的结论：在一维直线和二维平面上随机游走，几乎肯定最终会回到出发点；但在三维空间中，就有相当大的概率再也回不到原点。数学家角谷静夫把这概括为一句妙语：“喝醉的人总能找到回家的路，但喝醉的鸟可能永远找不到。”

在自然科学和金融中

随机游走被用来描述很多自然和社会现象。布朗运动：1827 年，植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察到花粉颗粒在水中不停地做无规则的运动。1905 年，爱因斯坦用随机游走的思想解释了这一现象：花粉颗粒受到周围大量水分子从各个方向的随机撞击，从而进行随机游走。这一理论为原子和分子的存在提供了有力的证据。扩散：墨水在水中扩散、气味在空气中散开，都可以用大量分子的随机游走来描述。金融：有一种观点认为，股票价格的变化类似随机游走，未来的价格变动无法根据过去的价格来预测，这就是“随机漫步假说”，它与有效市场假说密切相关，经济学家伯顿·马尔基尔的畅销书《漫步华尔街》让这一观点广为人知。不过，这一观点在学术界一直存在争论。

在 AI 和计算机科学中

网页排名：谷歌早期的 PageRank 算法设想一个用户在互联网上随机游走，不断地随机点击网页上的链接，从一个页面跳到另一个页面，偶尔也会随机跳到任意一个网页。长期来看，这个用户停留在各个网页上的概率，就反映了网页的重要程度。图嵌入：在社交网络、知识图谱等图数据中，DeepWalk（2014 年）和 node2vec（2016 年）等方法从每个节点出发进行随机游走，把走过的节点序列当成“句子”，再用类似 Word2Vec 处理词语的方法，为每个节点学习一个向量表示，用于节点分类、链接预测和推荐。采样：马尔可夫链蒙特卡罗方法通过构造一种特殊的随机游走，从复杂的概率分布中进行采样，是贝叶斯统计和很多机器学习方法中的核心工具。此外，随机游走还被用于推荐系统、图像分割，以及扩散模型的理论分析中：扩散模型的加噪过程，本质上就可以看作一种随机游走。