调和平均是什么？F1 分数背后的平均方法

调和平均（Harmonic Mean），也叫调和平均数，是平均数的一种。它的计算方法是：先求出一组数的倒数，再求这些倒数的算术平均数，最后再取倒数。对于两个数 a 和 b，调和平均等于 2ab 除以 (a+b)。它与我们最熟悉的算术平均数、以及几何平均数一起，被称为三种经典的平均数，古希腊的毕达哥拉斯学派就已经研究过它们。

一个经典的例子：平均速度

调和平均最典型的用途，是计算平均速度这类“比率”的平均值。假设你开车去一个 60 千米外的地方，去的时候速度是每小时 60 千米，回来的时候速度是每小时 30 千米。往返的平均速度是多少？很多人的第一反应是两个速度的算术平均数：每小时 45 千米。但这是错的。去的时候用了 1 小时，回来用了 2 小时，总共走了 120 千米、用了 3 小时，平均速度是每小时 40 千米。这正是 60 和 30 的调和平均：2 乘 60 乘 30，除以 60 加 30，等于 40。原因在于，你在速度慢的回程上花了更多的时间，所以平均速度应该更靠近较慢的那个速度。

类似地，在投资中，如果每个月都花固定的金额买入某只基金，也就是“定投”，那么平均每份的买入成本，就是各个月份价格的调和平均。由于价格低时买到的份数更多，平均成本会低于价格的算术平均。

调和平均的特点

对于一组正数，三种平均数之间有一个固定的大小关系：调和平均小于等于几何平均，几何平均又小于等于算术平均，只有当所有的数都相等时，三者才相等。调和平均最重要的特点是：它对较小的值非常敏感，很容易被较小的数“拉低”。比如 1 和 100 的算术平均是 50.5，而调和平均只有约 1.98，非常接近较小的那个数。只要其中有一个数接近零，调和平均就会接近零。

在机器学习中：F1 分数

调和平均在机器学习中最著名的应用是 F1 分数。在评价分类模型时，有两个重要的指标：精确率，模型判断为阳性的样本中，有多少是真正的阳性；召回率，所有真正的阳性样本中，有多少被模型找了出来。这两个指标往往相互制约，需要一个综合的指标来同时衡量它们。F1 分数就是精确率和召回率的调和平均。

为什么用调和平均，而不用算术平均？因为调和平均对较小的值敏感，能够惩罚“偏科”。假设一个模型把所有的样本都判断为阳性，它的召回率是 100%，但精确率可能只有 1%。如果用算术平均，得分是 50.5%，看起来还不错；而用调和平均，F1 分数只有约 2%，准确地反映出这个模型其实毫无用处。只有当精确率和召回率都比较高时，F1 分数才会高。在此基础上还有更一般的 F-beta 分数，可以根据实际需要调整对精确率和召回率的重视程度。

其他应用

在信息检索、自然语言处理中，F1 分数被广泛用来评价搜索、实体识别、问答等任务的效果。在金融中，调和平均被用来计算市盈率等比率指标的平均值。在物理中，电阻并联时的等效电阻、弹簧串联时的等效劲度系数等计算也与调和平均有关。