纳什均衡是什么？谁都不想单方面改变策略的稳定局面

纳什均衡（Nash Equilibrium）是博弈论中最核心的概念之一，以美国数学家约翰·纳什的名字命名。它描述的是这样一种稳定的局面：在一组策略中，每个参与者都已经选择了在别人策略不变的情况下对自己最有利的策略，因此任何一个人都没有动力单方面地改变自己的选择。纳什在 1950 年发表的论文中提出了这一概念，并因此与约翰·海萨尼、莱因哈德·泽尔腾共同获得了 1994 年的诺贝尔经济学奖。

直观理解

可以用一个简单的例子来理解：两家相邻的加油站在竞争，每家都可以选择定高价或低价。如果两家都定高价，各自都赚得不错；但如果一家降价，就能抢走对方的大量顾客；如果两家都降价，利润都会变薄。在这种情况下，可能的稳定局面是两家都定低价：此时任何一家单独涨价都会失去顾客，没有动力改变。这就是一个纳什均衡。纳什均衡的关键在于“单方面”：它不要求这是对所有人最好的结果，只要求在别人不变的情况下，自己改变策略不会得到好处。

囚徒困境：均衡不一定最好

博弈论中最著名的例子“囚徒困境”很好地说明了这一点：两个共同作案的嫌疑人被分开审讯，每人可以选择坦白或沉默。如果两人都沉默，各判一年；如果一人坦白、一人沉默，坦白的人立即释放，沉默的人判十年；如果两人都坦白，各判五年。对每个人来说，无论对方怎么选，坦白都比沉默更有利，所以两人都坦白是唯一的纳什均衡，结果是各判五年。但如果两人都沉默，各只判一年，对双方都更好。这说明纳什均衡可能并不是对集体最优的结果，个人的理性选择可能导致集体的不理性。这一现象在价格战、军备竞赛、公共资源的过度使用等问题中都有体现。

纯策略与混合策略

在有些博弈中，不存在每个人都确定地选择某一个策略的均衡。比如“石头、剪刀、布”：无论你固定地出什么，对手都能找到克制你的办法。这时，均衡的策略是随机地出拳，三种手势各以三分之一的概率出现，这叫混合策略。纳什证明了一个重要的定理：在任何参与者数量有限、每个人可选策略也有限的博弈中，只要允许使用混合策略，就一定存在至少一个纳什均衡。在二人零和博弈中，纳什均衡与冯·诺依曼在 1928 年证明的极小极大定理是一致的。一个博弈可能有多个纳什均衡，这时参与者如何协调到同一个均衡上，又是一个新的问题。

在人工智能中的应用

生成对抗网络：生成器和判别器的对抗训练被描述为一个二人博弈，理想的训练目标是达到纳什均衡：此时生成器产生的数据与真实数据无法区分，判别器只能随机猜测。但在实践中，用梯度下降交替地更新两个网络，并不保证能收敛到纳什均衡，训练常常会来回震荡，这也是生成对抗网络难以训练的原因之一。多智能体强化学习：当多个 AI 智能体在同一个环境中竞争或合作时，比如游戏中的多个玩家、交通中的多辆自动驾驶汽车，纳什均衡为分析和设计它们的策略提供了理论框架。博弈 AI：在扑克这类信息不完全的博弈中，卡内基梅隆大学开发的 Libratus 和 Pluribus 通过反事实遗憾最小化等算法，计算出近似的纳什均衡策略，在 2017 年和 2019 年先后击败了多位世界级的职业扑克选手。此外，纳什均衡还被用于分析拍卖和广告竞价机制、网络安全中的攻防策略，以及经济学、政治学、生物进化等广泛的领域。